\subsection{可见光广播信道波束成形设计}
利用前一节得到的MISO场景的可见光广播信道可达速率内界闭式表达式\eqref{Eqn:BC:MISO:InnerBound:ABG}来近似信道容量，可以使得许多可见光通信系统的设计问题变得相对容易。本节将在保证每个用户的最小传输速率约束和每个LED的最大发射功率约束的情况下，设计可见光广播信道最小化发射功率波束成形方案。

总发射电功率如式\eqref{Eqn:BC:MISO:AverageElectricalPower}所示，但是式\eqref{Eqn:BC:MISO:AverageElectricalPower}的第二部分为常数项，因此，本节在波束成形优化问题中只以第一部分为目标函数，即只对发射机的动态发送功率进行优化。从而，上述波束成形优化问题可以表述为
\begin{subequations}\label{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Scalar}
    \begin{align}
    \minimize{\left\{\bfw_i \right\}}{&\sum_{i=1}^{K}\varepsilon_i\norm{\bfw_i}^2}\\
    \st&\frac{1}{2}\log_2\left({\frac{2\pi\sigma^2+\sum_{j=1}^{K}\abs{\bfg_i^T\bfw_j}^2 e^{1+2\left(\alpha_j+\gamma_j\nu_j\varepsilon\right)}}{2\pi\sigma^2+2\pi \sum_{j=1,j\neq i}^{K}\abs{\bfg_i^T\bfw_j}^2\nu_j\varepsilon}}\right)\geq R_i,\forall i\in\calK,\label{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Scalar:b}\\
    &\sum_{i=1}^{K}A_i\abs{w_{i,n}}\leq b,\forall n\in\calN,
    \end{align}
\end{subequations}
式中，$ R_i $表示第$ i $个用户所要求的最小传输速率。

由于二次约束\eqref{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Scalar:b}非凸，问题\eqref{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Scalar}是一个非凸的二次约束二次规划问题，这个问题通常是一种NP-难问题\cite{Sidiropoulos2006}。但是可以采用半正定松弛(Semi-Definite Relaxation, SDR)方法，将问题\eqref{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Scalar}转化为一个凸半正定规划(Semi-Definite Program, SDP)问题，并且两个问题在一定条件下等价\cite{Chi2017,Luo2010,Palomar2009}。

定义变量
\begin{align*}
\begin{cases}
\widehat{\bfw}\triangleq\left[\bfw_1^T,\dots,\bfw_K^T\right]^T,\\
\widehat{\bfd}\triangleq\left[,\dots,\varepsilon_K^{1/2}\right] \otimes \vones_N,\\
\bfG_i=\diag{e^{1+2(\alpha_1+\gamma_1\varepsilon_1)},\dots,e^{1+2(\alpha_K+\gamma_K\varepsilon_K)}}\otimes\left(\bfg_i\bfg_i^T\right),\\
\overline{\bfG}_i=2^{2R_i}2\pi \diag{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{i-1},0,\varepsilon_{i+1},\dots,\varepsilon_K}\otimes\left(\bfg_i\bfg_i^T\right),\\
\overline{\bfb}_n\triangleq \left[A_1,\dots,A_K\right]^T\otimes \bfe_n,\\
c_i=2\pi\sigma^2\left(2^{2R_i}-1\right),
\end{cases}
\end{align*}
式中，$ \bfe_n $表示第$ n $个元素为$ 1 $的单位向量。利用声明的以上变量，问题\eqref{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Scalar}可以等价转换为如下形式
\begin{subequations}\label{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Vector}
    \begin{align}
    \minimize{\widehat{\bfw}}{&\norm{\widehat{\bfw}\odot\widehat{\bfd}}^2}\\
    \st&\widehat{\bfw}^T\left(\bfG_i-\overline{\bfG}_i\right)\widehat{\bfw}\geq c_i,\forall i\in \calK,\\
    &\widehat{\bfw}^T\overline{\bfb}_n\overline{\bfb}_n\widehat{\bfw}\leq b^2,\forall n\in\calN.
    \end{align}
\end{subequations}
由于存在性质
\[\widehat{\bfW}=\widehat{\bfw}\widehat{\bfw}^T \Leftrightarrow\widehat{\bfW}\succeq \vzeros,\rank{\widehat{\bfW}}=1, \]
问题\eqref{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Vector}可进一步等价为
\begin{align}
\minimize{\widehat{\bfW}}{&\trace{\widehat{\bfW}\odot\left(\widehat{\bfd}\widehat{\bfd}^T\right)}}\\
\st &\trace{\widehat{\bfW}\left(\bfG_i-\overline {\bfG}_i\right)}\geq c_i,\forall i\in\calK,\\
&\trace{\widehat{\bfW}\overline{\bfb}_n\overline{\bfb}_n^T}\leq b^2,\forall n\in\calN,\\
&\widehat{\bfW}\succeq \vzeros,\rank{\widehat{\bfW}}=1.
\end{align}
然后，通过移除非凸的秩约束，可以获得如下的一个凸半正定规划问题
\begin{align}\label{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Vector:SDP}
    \minimize{\widehat{\bfW}}{&\trace{\widehat{\bfW}\odot\left(\widehat{\bfd}\widehat{\bfd}^T\right)}}\\
    \st &\trace{\widehat{\bfW}\left(\bfG_i-\overline {\bfG}_i\right)}\geq c_i,\forall i\in\calK,\\
    &\trace{\widehat{\bfW}\overline{\bfb}_n\overline{\bfb}_n^T}\leq b^2,\forall n\in\calN,\\
    &\widehat{\bfW}\succeq 0.
\end{align}
使用内点法\cite{cvx,Sturm1999}可以有效地解出问题\eqref{Eqn:BC:MISO:Beamforming:OriginalProblem:Vector:SDP}的最优解$ \widehat{\bfW}^{\star} $，其最差算法复杂度为$ \calO\left(\left(KN\right)^{4.5}\log\left(1/\xi \right)\right) $，式中$ \xi>0 $为精度要求。如果$ \rank{\widehat{\bfW}^{\star}}=1 $，则最优波束成形向量可以通过奇异值分解（SVD）方法求出。但是由于进行了半正定松弛，$ \widehat{\bfW}^{\star} $的秩可能大于$ 1 $，但是可以通过高斯随机化\cite{Luo2010}得到满足$ \rank{\widehat{\bfW}^{\star}}=1 $的可见光广播波束成形向量。